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方差的计算公式【每日一题】期望并不一定等同于常识中的“期望”

   日期:2022-09-16     来源:网络整理    作者:汽车网  联系电话:王经理  153-872-95596  浏览:149    评论:0    
核心提示:方差公式与期望的关系期望的计算公式期望的计算公式方差的计算公式类似地,计算变量X的方差公式如下:方差的计算公式标准差是取方差的平方根,计算公式如下:标准差的计算公式这时,期望、方差存在以下关系:方差公式和标准差公式方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量,用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。S函数计算标准差标准差是方差的算术平方根,二者关系如下。

方差公式与期望的关系

概率可以告诉某些事件的概率,但概率不是万能的。它不能指出这些发生的事情的整体影响,也不能指出这种整体影响对人的具体影响。这个时候就需要用到期望值了。期望的作用是用概率来预测长期的结果,并衡量这些预测结果的确定性。

什么是期望

在概率论和统计学中,离散随机变量的期望是实验中每个可能结果的概率乘以其结果之和。换句话说,期望值是根据以相同机会重复多次的随机实验结果计算得出的等效“期望值”的平均值。需要注意的是,期望不一定与常识中的“期望”相同。 “期望”可能不等于所有结果。

例子:扔一个六面筛子,预期的点数是3.5,计算如下:

方差的计算公式_完全平方公式和平方差公式_卡西欧科学计算器计算方差

预期公式

期望与均值有些相似,甚至以类似的方式计算,但它描述的是概率分布。要找到期望值,您需要将每个值 x 乘以该值出现的概率,然后将所有结果相加。

方差的计算公式_卡西欧科学计算器计算方差_完全平方公式和平方差公式

预期公式

下图是拉到老虎机结果的概率图,x代表中奖金额,P(X=x)代表概率:

方差的计算公式_完全平方公式和平方差公式_卡西欧科学计算器计算方差

E(X) = (-1*0.977) + (4*0.008) + (9*0.008) + (14*0.006) + (19*0.001) = -0.77

这个结果意味着你每轮可能会损失 0.$77。

预期值表示变量的典型值或平均值,但不提供有关值离散度的任何信息,这意味着预期值不会反映变量的未来变化。玩老虎机的玩家不想每局输0.77元,而是希望运气好,赢更多的钱。这就是差异发挥作用的地方。

方差计算公式

按如下方式计算一批数字的方差:每个数字的均值减去差的平方,然后取所有结果的平均值。

同理,变量X的方差计算公式如下:

方差的计算公式_完全平方公式和平方差公式_卡西欧科学计算器计算方差

方差计算公式

其中 μ 是所需的替代项。

继续上面老虎机收益的例子,找到老虎机收益的方差如下:

Var(x) =E(x-μ)2

= (-1+0.77)2 * 0.977 + (4+0.77)2*0.008 + (9+0.77)2*0.008 + (14+0.77)2*0.006)@ >+ (19+0.77)2*0.001

= 2.6971

标准差是方差的平方根,计算如下:

方差的计算公式_卡西欧科学计算器计算方差_完全平方公式和平方差公式

标准差的计算公式

期望和方差的变化

如果以上拉机规则改变,投注资金增加,改变后结果的概率图如下:

方差的计算公式_完全平方公式和平方差公式_卡西欧科学计算器计算方差

计算结果为:

E(Y) = -0.85, Var(Y) = 67.4275

通过比较前后两个期望值和方差,我们可以发现它们之间的关系如下:

E(Y) = 5 * E(X) + 3,

Var(Y) = 5*5* Var(X)

如果基本概率保持不变,新旧期望和方差必须有如下关系:

卡西欧科学计算器计算方差_完全平方公式和平方差公式_方差的计算公式

这称为线性变化,因为 X 发生的事情是线性变化,即基础概率保持不变,但值变为一个新值,其形式为:aX + b。

独立观察

如果老虎机的游戏规则不变,但玩家同时玩多台老虎机,每台老虎机的期望和方差分别为E(x)和Var(x)。此时每台老虎机的随机变量值为一个随机变量值方差的计算公式,表示为x1,x2,...xn。此时期望和方差有如下关系:

卡西欧科学计算器计算方差_完全平方公式和平方差公式_方差的计算公式

方差公式和标准差公式

方差是衡量随机变量或概率论和统计方差中的一组数据时离散程度的度量。它用于衡量随机变量与其数学期望(即平均值)之间的偏差程度。 Excel 2016中有两个计算方差的函数,VAR.P函数和VAR.S函数。

VAR.P 函数根据整个样本总体计算方差。基本语法如下。

方差的计算公式_完全平方公式和平方差公式_卡西欧科学计算器计算方差

为必填参数,对应总体的第一个数值参数。

, ...为可选参数,对应种群的2~254个数值参数。

VAR.P 计算如下。

完全平方公式和平方差公式_卡西欧科学计算器计算方差_方差的计算公式

VAR.S 函数估计基于样本的方差。基本语法如下。

方差的计算公式_卡西欧科学计算器计算方差_完全平方公式和平方差公式

为必填参数,对应样本的第一个数值参数。

, ...为可选参数,对应样本的2~254个数值参数。

VAR.S的计算公式如下。

方差的计算公式_卡西欧科学计算器计算方差_完全平方公式和平方差公式

式中为样本均值,n为样本量。

示例15-43 产品包装质量比较

有3个车间A、B、C包装产品,每件产品要求称重100g/包。现从3个车间各抽取10袋产品进行称重。称重数据如图15-49所示。

卡西欧科学计算器计算方差_完全平方公式和平方差公式_方差的计算公式

在G2单元格输入以下公式,复制到右侧I2单元格方差的计算公式,计算每个车间包装产品的平均重量。

=(B2:B11)

在G3单元格中输入以下公式,将其复制到右侧单元格I3中,计算各车间包装产品的偏差程度。

=VAR.P(B2:B11)

对比可以看出,A、B车间平均质量为100g,C车间超过100g,C车间包装质量较差。

车间A的方差为10.6,车间B的方差为68.2。与两者相比,A车间的方差更小,说明包装质量更稳定。

使用STDEV.P函数和STDEV.S函数计算标准差

标准差常用于衡量概率统计中统计分布的程度,反映群体中个体之间的离散程度。具有相同平均值的两组数据可能具有不同的标准差。 Excel 2016中有两个计算标准差的函数,即STDEV.P函数和STDEV.S函数。标准差是方差的算术平方根,关系如下。

方差的计算公式_完全平方公式和平方差公式_卡西欧科学计算器计算方差

STDEV.P 函数根据作为参数给出的整个样本总体计算标准偏差。基本语法如下。

完全平方公式和平方差公式_卡西欧科学计算器计算方差_方差的计算公式

为必填参数,对应总体的第一个数值参数。

, ...为可选参数,对应种群的2~254个数值参数。

STDEV.P的计算公式如下。

卡西欧科学计算器计算方差_方差的计算公式_完全平方公式和平方差公式

STDEV.S 函数根据样本估计标准差。基本语法如下。

方差的计算公式_完全平方公式和平方差公式_卡西欧科学计算器计算方差

为必填参数,对应样本的第一个数值参数。

, ...为可选参数,对应样本的2~254个数值参数。

STDEV.S的计算公式如下。

方差的计算公式_卡西欧科学计算器计算方差_完全平方公式和平方差公式

式中为样本均值,n为样本量。

例15-44某班学生身高分布

在图15-50中,A~B列是某班级学生身高记录表的一部分。在单元格 E1 中输入以下公式以计算学生的平均身高。结果是 177.33 (cm)。

=(B2:B41)

在单元格E2中输入以下公式,计算学生身高的标准差,返回结果为7.30。

=STDEV.P(B2:B41)

方差的计算公式_卡西欧科学计算器计算方差_完全平方公式和平方差公式

这说明本班学生的身高主要分布在177.33±7.30cm之间。

 
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